10 sınıf uzay geometrisi konu anlatımı pdf

1 SINIF GEOMETRİ KONU ÖZETİ TOLGA YAVAN Matematik Öğretmeni

2 1. ÜNİTE: DÜZLEM GEOMETRİDE TEMEL ELEMANLAR VE İSPAT BİÇİMLERI Temel Postulatlar İspatlanamayan ve ispatına gerek duyulmayan ancak doğru olduğu kabul edilen geometrik önermelere postulat denir. Aşağıda, geometrinin temeli sayılan Öklid postulatları verilmiştir. 1. Postulat: Farklı iki noktadan bir ve yalnız bir doğru geçer. 2. Postulat: Bir doğru parçası sağ ve sol tarafa doğru sınırsız şekilde uzatılabilir. 3. Postulat: Merkezi ve yarıçapı verilen yalnız bir çember çizilebilir. 4. Postulat: Bütün dik açılar eştir. 5. Postulat: Bir doğruya dışındaki bir noktadan yalnız ve yalnız bir tek paralel doğru çizilir. Teorem: Doğruluğu tanımlardan ya da ispatsız kabul edilen önermelerden yola çıkılarak genel anlamda ispatlanabilen ve problemlerin çözümlerinde dayanak olarak kullanılabilen önermeler GEOMETRİK İSPAT BİÇİMLERİ Tümevarım Olmayana Ergi Yöntemi ile İspat İspat Yöntemleri Doğrudan İspat Tümdengelim Çelişki Yöntemi ile İspat Dolaylı ispat Deneme Yöntemi ile İspat Aksine Örnek Vererek İspat İspatlar ya doğrudan ya da dolaylı olarak yapılır. Bir teoremde hipotezin doğruluğu kabul edilerek hükmün de doğru olduğunun gösterilmesi seklinde yapılan ispat yöntemine doğrudan (direkt) ispat yöntemi denir. Bir teoremin doğrudan ispatı yerine, teoremin karşıt tersinin ispatlanmasına dolaylı ispat yöntemi denir. Bu ispatlar yapılırken farklı yazım biçimleri kullanılır. Paragraf, akış diyagramı, iki kolonlu ispat gibi ispat biçimleri farklı ispat yöntemleri değil, aksine ispat yöntemlerinin farklı biçimde gösterilmesi İki kolonlu ispat biçiminde ilk kolonda İfadeler başlığı yer alır. Sıra numarası verilerek adım adım son ifadeye kadar yazılır. İkinci kolonda ise Gerekçeler başlığı altında ilk kolon numaralarına paralel olacak şekilde ilk kolondaki İfadeler baslığının yazılma gerekçeleri belirtilir. Gerekçeler; özellikler, teoremler, postulatlar ve tanımlar olabilir. İki kolonlu ispat biçimi aşağıdaki bileşenlere sahip olmalıdır: a. Orijinal teorem, önerme vb. ifadesi b. Verilen bilgilerin akış diyagramı c. İspatta verilenlerin yeni ifadeleri ç. İspattaki her birim adımı tam destekleyen nedenler d. İspatı yapılan ifade Akış diyagramlı ispat bicimi, ispat yapısı, kutular içinde yazılan açıklamalar ve bunların dışındaki okların yönlendirilmesi ile oluşur. Verilenler, özellikler, teoremler, postulatlar ve tanımlar, kutuların altına veya yanına yazılır. Bu akış diyagramını, bilgisayar programcıları sıkça kullanırlar. Her bir adım kolayca ve acık olarak görüldüğü için bu ispat bicimi, cebirsel ve geometrik ispatlara kolayca uyarlanabilir. Paragraf ispat biçiminde, ispat boyunca detaylı açıklamalara yer verilir. İspatı sonlandırana kadar her adım için gerekçe ayrıntılı şekilde belirtilir ve paragraf biçiminde yazılır. 2.ÜNİTE: DÜZLEMDE NOKTA, DOĞRU VE VEKTÖRLER DOĞRULARDA DOĞRULTU KAVRAMI Doğrular kümesi üzerinde tanımlı paralellik bağıntısını inceleyelim: 1. Her doğru kendine paralel olduğundan doğrular kümesinde paralellik bağıntısının yansıma özelliği vardır. Yandaki şekilde AB//AB olur. 2. AB//CD CD//AB olduğundan doğrular kümesinde paralellik bağıntısının simetri özelliği vardır. Yandaki şekilde AB//CD ise CD//AB olur. 3. AB//CD iken CD//EF ve AB//EF olduğundan doğrular kümesinde paralellik bağıntısı geçişen Yandaki şekilde AB//CD//EF olur. Doğrular kümesinde paralellik bağıntısının yansıma, simetri ve geçişme özellikleri olduğundan, paralellik bağıntısı bir denklik bağıntısıdır. Doğrular kümesi üzerindeki paralellik bağıntısının, her bir denklik sınıfının bir doğrultusu vardır. 1

3 İKİ DOĞRUNUN BİRBİRİNE GÖRE DURUMLARI 1. Bir ortak noktaları varsa kesişirler. 2. Düzlemsel olup, kesişmiyorlarsa paralel doğrulardır. 3. Düzlemsel olmayıp kesişmiyorlarsa aykırı doğrulardır. (AB) AB doğru parçasının iç noktaları [AB) AB doğru parçasından B çıkarılmış (AB] AB doğru parçasından A çıkarılmış Düzlemdeki bir doğru, düzlemi iki parçaya ayırır. Ayrılan parçalardan her birine yarı düzlem adı verilir. Düzlem parçalarına doğru dâhil ise kapalı yarı düzlem, dâhil değilse açık yarı düzlem denir. BİR DOĞRU İLE BİR DÜZLEMİN BİRBİRİNE GÖRE DURUMLARI 1. Doğru ile düzlemin iki ortak noktası varsa doğru düzlemin içinde 2. Doğru ile düzlemin bir ortak noktası varsa doğru düzlemi deler. 3. Doğru ile düzlemin ortak noktaları yoksa doğru düzleme paralel Herhangi bir sabit noktayla başlayıp sonsuz sayıdaki noktalar ile düz olarak sürekli tek yöne uzatılabilen, uzunluğu sınırsız, kalınlığı bulunmayan geometrik sekle kapalı yarı doğru (ışın), başlangıç noktası dâhil edilmediğinde ise açık yarı doğru denir. Uyarı: 1. Bir doğru parçasının doğrultusu, üzerinde bulunduğu doğrunun doğrultusuyla aynıdır. 2. İki doğru parçasının üzerinde bulunduğu doğrular kesişiyorsa bu doğru parçaları farklı doğrultuda, kesişmiyorsa aynı doğrultudadır. 3. Uç noktaları çakışık olan doğru parçaları nokta belirtir. Dolayısıyla tüm noktaların doğrultuları aynıdır ve tüm noktalar aynı denklik sınıfındadır. Desen Oluşturma Doğru parçaları ile desen oluşturmada aşağıdaki adımlar gerçekleştirilir: 1. Doğru parçaları ile eksenler oluşturulur. Eksenler arasındaki açılar dar, dik veya geniş açı olarak alınabilir. 2. Doğru parçaları farklı boylarda alınabilir. Her bir seklin altına doğru parçalarının birbirlerine oranları yazılır. 3. Eksenler üzerinde kendi içinde eşit aralıklarla noktalar alınır. Nokta sayılarının eşit olmasına dikkat edilerek bu noktalar harfler veya sayılarla isimlendirilir. 4. Aynı harflere ait noktalar doğru parçası oluşturacak şekilde birleştirilerek tasarımlar oluşturulur. 5. Tasarım oluşturulduktan sonra noktaların isimleri silinir. 6. Elde edilen şekillerde bazı bölgeler boyanarak farklı desen ve tasarımlar oluşturulur. Farklı iki nokta ile bunlar arasında bulunan ve doğrudaş olan tüm noktaların kümesine doğru parçası, bu iki noktaya doğru parçasının uç noktaları denir. 2

4 Yönlü Doğru Parçası Uzunluğu, doğrultusu ve yönü olan doğru parçasına yönlü doğru parçası denir. Başlangıç noktası A ve bitiş noktası B olan yönlü doğru parçası şeklinde gösterilir. A ve B noktaları arasındaki uzaklığa AB yönlü doğru parçasının uzunluğu denir. Bu uzunluk ile gösterilir. Uyarı: 1. Yönlü doğru parçası, başlangıç ve bitiş noktasının belli olması sebebiyle ısından farklıdır. Işının başlangıç noktası, yönü, doğrultusu belli olmasına rağmen bitiş noktası yoktur. 2. Doğrultuları farklı olan yönlü doğru parçalarının yönleri farklıdır. Ancak bu yönlü doğru parçalarının uzunlukları eşit olabilir. 3. Doğrultuları aynı olan yönlü doğru parçalarının yönleri aynı veya zıttır. Bu yönlü doğru parçalarının uzunlukları da eşit ya da farklıdır. 4. Başlangıç ve bitim noktaları aynı olan yönlü doğru parçaları üzerindeki yön ve doğrultu, kullanım amacına göre değişiklik gösterebilir. Vektör Kavramı Eş yönlü doğru parçaları: Uzunluğu ve yönü aynı olan yönlü doğru parçalarına eş yönlü doğru parçaları denir. ile eş yönlü doğru parçaları şeklinde gösterilir. Vektör: Yönlü doğru parçaları üzerinde tanımlanan " bağıntısı, yansıyan, simetrik ve geçişken olduğu için bir denklik bağıntısıdır. Bu denklik bağıntısının her denklik sınıfı bir vektördür. [ ] denklik sınıfı genellikle biçiminde gösterilir. Vektörler gibi harflerle gösterilir. Düzlemde bütün vektörlerin kümesi V ile gösterilir. Vektörler ile işlem yapılırken denklik sınıfının temsilci elemanları kullanılır. 3 Bir Vektörün Uzunluğu (Normu) Bir vektörün uzunluğu (büyüklüğü) bu vektörün temsil ettiği yönlü doğru parçalarından birinin uzunluğudur ve ile gösterilir. Birim vektör: Uzunluğu (büyüklüğü) 1 birim olan vektöre birim vektör denir. Sıfır vektörü: Başlangıç ve bitim noktası aynı olan vektörüne sıfır vektörü denir. Sıfır vektörü ile de gösterilir. Ters (zıt) vektörler: Doğrultu ve uzunlukları aynı, yönleri farklı olan vektörlere ters (zıt) vektörler denir. ters vektörleri için dür. Dik vektörler: Başlangıç noktaları aynı olan ve aralarındaki açı 90º olan vektörlere dik vektörler denir. VEKTÖRLERDE TOPLAMA İŞLEMİ Doğrultuları ve yönleri aynı olan iki vektörün toplamının uzunluğu, vektörlerin uzunlukları toplamına eşit olup yönü ve doğrultusu değişmez. Doğrultuları aynı, yönleri farklı olan iki vektörün toplamının uzunluğu, vektörlerin uzunlukları farkına eşit olup yönü, büyük olan vektörle aynıdır. Doğrultusu değişmez. Doğrultuları farklı olan iki vektörün toplamının uzunluğu vektörlerin uzunlukları toplamından küçük, yönü ve doğrultusu bu iki vektörün yön ve doğrultusundan farklıdır. Bu şekildeki vektörlerin toplamında paralelkenar ve çokgen yöntemi kullanılır. Paralelkenar yöntemi İki vektörün toplamı, paralelkenar yöntemi ile bulunurken vektörlerin başlangıç noktaları sabit bir noktaya taşınır. Başlangıç noktaları ortak olan vektörlerine eş vektörler çizilir.

5 Başlangıç noktası vektörlerinin başlangıç noktasıyla aynı olan köşegen, bu iki vektörün toplam vektörüdür. 1 < k < 0 ise yönü değişir, doğrultusu değişmez, uzunluğu küçülür. k < 1 ise yönü değişir, doğrultusu değişmez, uzunluğu büyür. k = 0 ise elde edilir. k = 1 ise hiçbir değişim olmaz. k = 1 ise yönü değişir, doğrultusu ve uzunluğu değişmez. Çokgen yöntemi İki vektörün toplamı çokgen yöntemi ile yapılırken birinin bitim noktası ile diğerinin başlangıç noktası sabit bir noktaya taşınır. İlk vektörün başlangıç noktasını ikinci vektörün bitim noktasına birleştiren vektör, bu iki vektörün toplamıdır. İki vektörün farkı eşitliğinden yararlanılarak bulunur. Vektörlerin Gerçek Sayı İle Çarpımında Dağılma ve Birleşme Özellikleri 1. Birinci Dağılma Özelliği: ( ) 2. İkinci Dağılma Özelliği: 3. Birleşme Özelliği: ( ) VEKTÖRLERİN LİNEER BAĞIMLILIĞI Düzlemde biri diğerinin gerçek bir sayı katı olarak yazılabilen iki vektöre lineer bağımlı vektörler denir. Doğrultuları aynı olan iki vektör lineer bağımlıdır. Doğrultuları farklı olan iki vektör ise lineer bağımsızdır. Aynı düzlemde olan ikiden fazla vektör, doğrultularına bakılmaksızın lineer bağımlıdır. vektörleri için, k ve t R olmak üzere, ise vektörüne vektörlerinin lineer bileşimi denir. Lineer bağımlı vektörler birbirlerinin lineer bileşimi olarak yazılabilir. V vektörler kümesi üzerinde tanımlanan toplama işleminin kapalılık, değişme, birleşme özellikleri vardır. Birim (etkisiz) elemanı (sıfır) vektörüdür. Herhangi bir vektörünün tersinden bahsedilebilir ve şeklinde gösterilir. BİR VEKTÖRÜ BİR GERÇEK (REEL) SAYI İLE ÇARPMA Herhangi bir vektörü, k R ile çarpıldığında elde edilen yeni vektörün; 0 < k < 1 ise yönü ve doğrultusu değişmez, uzunluğu küçülür. k > 1 ise yönü ve doğrultusu değişmez, uzunluğu büyür. 4 3.ÜNİTE: KOORDİNAT SİSTEMLERİ DİK KOORDİNAT SİSTEMİ Düzlemde bir O noktası ve başlangıç noktaları O olan, birbirine dik birim vektörleri verilsin. { } üçlüsününün oluşturduğu yapıya dik koordinat sistemi denir. O noktasına sistemin orijini, vektörlerine birim vektörler, bu vektörleri taşıyan doğrulara koordinat sisteminin x ve y eksenleri denir. Bu eksenler, düzlemi dört bölgeye ayırır. Dik koordinat sisteminde alınan herhangi bir P noktası için vektörünün vektörlerinin lineer bileşimi olarak gösterimi şeklinde yapılır. Buradaki x ve y değerlerine P noktasının koordinatları denir ve P(x,y) biçiminde gösterilir.

6 İKİ VEKTÖRÜN ÖKLİD İÇ ÇARPIMI Dik koordinat sisteminde, vektörleri için şeklinde tanımlanan işlem, ve k R için, i. (simetri özelliği) ii. (1. yere göre lineerlik) (2. yere göre lineerlik) iii. için (pozitif tanımlılık özelliği) özelliklerini sağlar. Bu yüzden bu işleme Öklid İç Çarpımı adı verilir. biçiminde gösterilir. Öklid iç çarpımı ile birlikte ye Öklid Düzlemi denir. BİR VEKTÖRÜN UZUNLUĞU olmak üzere, ifadesine vektörünün uzunluğu (normu) denir. olduğundan vektörünün normu ile hesaplanır. olmak üzere iki nokta arasındaki uzaklık, biçiminde hesaplanabileceği gibi yardımıyla ile de hesaplanabilir ve biçiminde gösterilir. Sıfırdan farklı bir ile aynı doğrultulu ve aynı yönlü birim vektör işlemi ile bulunur. İKİ VEKTÖR ARASINDAKİ AÇI ve arasındaki açının ölçüsü α ise eşitliği geçerli Özel olarak,, BİR VEKTÖRÜN BAŞKA BİR VEKTÖR ÜZERİNE DİK İZDÜŞÜMÜ Düzlemde bir d doğrusu ve bu doğrunun dışında bir A noktası alınıyor. A noktasından d doğrusuna çizilen dikmenin ayağı olan B noktasına, A noktasının d doğrusu üzerindeki dik izdüşümü denir. Bir [AB] nın d doğrusu üzerindeki dik izdüşümü, A ve B noktalarının d doğrusu üzerindeki dik izdüşümleri olan C ve D noktalarını birleştiren CD doğru parçasıdır. nün üzerindeki dik izdüşüm vektörü, bağıntısı ile bulunur. 4.ÜNİTE: DOĞRULAR Doğru Denklemleri Düzlemde bir A(x 0,y 0 ) noktasından geçen ve doğrultman vektörü olan doğrunun, düzlemde herhangi bir nokta ve k parametre olmak üzere Vektörel denklemi: Parametrik denklemi: { Kapalı denklemi: Doğrultman vektörü olarak verilirse şeklinde Özel olarak m eğimi göstermek üzere şeklinde de verilebilir. ax + by + c = 0 kapalı denklemiyle verilen doğru, a = 0 ise x eksenine paralel, b = 0 ise y eksenine paralel c = 0 ise orijinden geçer. 5

7 İki Noktası Bilinen Doğrunun Denklemi ve noktalarından geçen doğrunun doğrultman vektörü olmak üzere; Vektörel denklemi: Parametrik denklemi: { Kapalı denklemi: şeklinde Doğrultman vektörü olarak verilirse m eğimi göstermek üzere şeklinde de verilebilir. k parametresi [ ] aralığında seçildiğinde A ve B noktalarıyla sınırlı doğru parçası elde edilir. Doğrunun Normal Vektörü Bir doğrunun doğrultusuna dik olan vektöre doğrunun normal vektörü denir ve ile gösterilir. a, b, c R ve ax + by + c = 0 ise doğrunun normal vektörlerinden biri Bir doğrunun birden fazla normal vektörü vardır. Bir A noktası ve normal vektörü verilen doğrunun kapalı denklemi olur. ax + by + c = 0 doğrusunun düzlemde ayırdığı açık ya da kapalı yarı düzlemler aşağıdaki gibi gösterilir: ax + by + c > 0 (açık yarı düzlemi) ax + by + c < 0 (açık yarı düzlemi) ax + by + c 0 (kapalı yarı düzlemi) ax + by + c 0 (kapalı yarı düzlemi) İki Doğrunun Birbirine Göre Durumları Doğrultu vektörleri olan iki doğru; lineer bağımlı ise paralel ya da çakışık, lineer bağımsız ise kesişen doğrulardır. Yukarıdaki kuralın bir sonucu olarak normal vektörleri lineer bağımlı olan iki doğru, paralel ya da çakışıktır; normal vektörleri lineer bağımsız ise doğrular kesişir. doğruları verilsin. k sıfırdan farklı bir gerçek sayı olmak üzere, ise doğrular çakışık ya da paralel 6 şartını sağlıyorsa çakışık, şartını sağlıyorsa paralel eşitliğini sağlayan bir k gerçek sayısı yoksa doğrular kesişir. Bu durumda doğruların kesişim noktası, doğru denklemlerinin oluşturduğu sistemin çözümüdür. İki doğru arasında dik, dar ve geniş açı olmak üzere üç çeşit açı oluşabilir. Dar olanın bu iki açı arasındaki açı, geniş olanı da bu iki doğru arasındaki açının bütünleyeni olduğu dikkate alınır. İki doğrunun doğrultu vektörlerinin iç çarpımı pozitif ise bu vektörler arasında kalan açı, doğrular arasındaki açıdır. Benzer şekilde, iki doğrunun normal vektörlerinin iç çarpımı pozitif ise bu vektörler arasındaki açı, doğrular arasındaki açıdır. Doğrultu vektörleri ya da normalleri dik olan iki doğru birbirine diktir. Doğrunun Eğimi Bir doğrunun x ekseni ile pozitif yönde yaptığı açının tanjantına doğrunun eğimi denir ve eğim m ile gösterilir. Vektörel olarak eğim, bir doğrunun doğrultu vektörünün eğimine bu doğrunun eğimi denir. Doğrunun, x ekseni ile pozitif yönde yaptığı açı θ ise eğim, m = tanθ olarak ifade edilir. ve noktalarından geçen doğrunun eğimi, bu noktalarda geçen doğrultu

8 vektörünün ordinatının apsisine oranıdır. Doğrultman vektörü: Eğimi: Doğrultman vektörü olarak verilirse eğimi olur. İki Açının Toplam ve Farklarının Trigonometrik Oranları a, b R için aşağıdaki trigonometrik özdeşlikler vardır: Kesişen İki Doğru Arasındaki Açı BİR NOKTANIN BİR DOĞRUYA OLAN UZAKLIĞI vektörü vektörünün normal vektörü üzerine dik izdüşüm vektörüdür. uzunluğu P noktasının doğrusuna uzaklığıdır. Bu uzaklık d(p, ) ile de gösterilir. Bir noktasının, normali olan ax+by+c=0 doğrusuna uzaklığı olur. olmak üzere; θ değeri pozitif ise iki doğrunun arasındaki açının ölçüsü, negatif ise bütünleyen açının ölçüsü bulunur. 1. ise iki doğru paralel veya çakışıktır. Buna göre; 2. ise iki doğru birbirine dik olur. Buna göre; P noktasından geçen ve ye dik olan N doğrusu bulunur. Bu doğrunun doğrusu ile arakesit noktası Q ise nun P noktasının doğrusuna olan uzaklığı olur. Doğrular kesişiyor ya da çakışıyor ise bu iki doğrunun arasındaki uzaklık sıfır olur. Geometrik Yer Belli bir özelliği taşıyan tüm noktaların oluşturduğu kümeye, o özelliği sağlayan noktaların geometrik yeri denir. 1. Kesişen iki doğruya eşit uzaklıktaki noktaların geometrik yeri, bu iki doğrunun açıortay doğrularıdır. 7

9 Yandaki şekilde, kesişen iki doğruya eşit uzaklıktaki noktaların geometrik yeri e ve d açıortay doğrularıdır. 2. Paralel olan iki doğruya eşit uzaklıktaki noktaların geometrik yeri, bu iki doğruya paralel olan orta paralel doğrusudur. Yandaki şekilde paralel olan 1 ve 2 doğrularına eşit uzaklıktaki noktaların geometrik yeri d doğrusudur. 3. Bir doğruya sabit bir uzaklıkta bulunan noktaların geometrik yeri bu doğruya paralel olan iki doğrudur. Yandaki şekilde doğrusuna sabit uzaklıktaki noktaların geometrik yeri d ve e doğrularıdır. 4. İki noktaya eşit uzaklıktaki noktaların geometrik yeri, bu noktaları uç nokta kabul eden doğru parçasının orta dikme doğrusudur. Yandaki şekilde A ve B noktalarına eşit uzaklıktaki noktaların geometrik yeri d doğrusudur. yeri, bu iki noktayı birleştiren doğru parçasının orta dikme doğrusudur. 5.ÜNİTE: ÜÇGENLER birleşimine çokgen denir. noktalarına, çokgenin köşeleri; [ ] [ ] [ ] doğru parçalarına da çokgenin kenarları denir. Çokgenin iç bölgesinde seçilen herhangi iki noktayı birleştiren doğru parçası daima çokgenin iç bölgesinde kalıyorsa bu çokgene dışbükey (konveks) çokgen denir. Tersi oluştuğu zaman bu çokgene içbükey (konkav) çokgen denir. Dışbükey (konveks) çokgen denilince çokgen, çokgenin açıları deyimi ile bu çokgenin iç açıları kastedilir. Formüller: n kenarlı bir konveks çokgenin; Bir köşesinden çizilen köşegenlerle çokgen tane üçgene ayrılır. Bir köşesinden çizilen köşegenlerin sayısı tür. Bir çokgenin köşegenlerinin sayısı İç açılarının ölçüleri toplamı Dış açılarının ölçüleri toplamı n kenarlı bir dışbükey çokgen, en az n 2 tanesi uzunluk olmak üzere, 2n 3 tane temel elemanının verilmesiyle tam olarak belirli olur. ÜÇGENİN TEMEL VE YARDIMCI ELEMANLARI Üçgen: Üç kenarlı çokgene üçgen denir. Aşağıda verilen üçgen örneği, ABC üçgeni olarak isimlendirilir ve diye gösterilir. [AB], [BC] ve [AC] na nin kenarları; A, B ve C noktalarına da üçgenin köşeleri adı verilir. Aşağıdaki şekillerde üçgenin iç ve dış açıları gösterilmiştir. Herhangi bir üçgende bir köşedeki iç açı ile dış açı bütünler DIŞBÜKEY ÇOKGEN VE TEMEL ELEMANLARI Çokgen: düzlemsel farklı n tane (n 3) nokta olsun. Bunların herhangi ardışık üçü doğrusal değilse yalnız uç noktalarında kesişen [ ] [ ] [ ] doğru parçalarının 8

10 Üçgenler kenarlarına göre ikizkenar, eşkenar ve çeşitkenar üçgen; açılarına göre geniş açılı, dar açılı ve dik açılı üçgen şeklinde isimlendirilir. 2. Bir üçgende büyük açı karşısında büyük kenar, küçük açı karşısında küçük kenar bulunur. Bir üçgenin bir köşesinden karşı kenara indirilen dik doğru parçasına üçgenin o kenarına ait yüksekliği denir. a kenarına ait yükseklik uzunluğu h a ile gösterilir. Bir üçgenin herhangi bir köşesini, karşı kenarın orta noktasına birleştiren doğru parçasına üçgenin bu kenarına ait kenarortayı denir. a kenarına ait kenarortayın uzunluğu V a ile gösterilir. ( ) ( ) ( ) 3. Bir üçgende herhangi bir kenarın uzunluğu, diğer iki kenarın uzunlukları toplamından küçük, uzunlukları farkının mutlak değerinden büyüktür. Bu eşitsizliğe üçgen eşitsizliği denir. 4. Bir üçgende geniş açı karşısındaki kenar en büyüktür. 5. ( ) ise 6. ( ) ise Bir üçgenin herhangi bir iç açısını iki eş parçaya ayırarak köşeyi karşı kenara birleştiren doğru parçasına üçgenin iç açıortayı denir. A açısına ait açıortayın uzunluğu n A ile gösterilir. Bir üçgende yükseklikler, açıortaylar ve kenarortaylar yardımcı elemanlardır. ÜÇGENİN KENARLARI VE AÇILARI ARASINDAKİ İLİŞKİLER 1. Bir üçgende eş açılar karşısındaki kenar uzunlukları eşittir. 7. Üçgenin dış açılarının ölçüleri ( ) ( ) ( ) olmak üzere; ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) dür. 8. Bir üçgende bir köşeden geçen yükseklik, iç açıortay ve kenarortay uzunlukları arasında sıralaması vardır. 9. Bir üçgende kenarlar arasındaki sıralamanın tersi yükseklik, iç açıortay ve kenarortaylar arasında vardır. 9

11 a < b < c h a > h b > h c a < b < c v a > v b > v c a < b < c n A > n B > n C 10. olmak üzere; u<h a +h b +h c <2u u<v a +v b +v c <2u u<n A +n B +n C <2u 11. Bir üçgenin içbölgesinde alınacak olan herhangi bir noktanın üçgenin köşe noktalarına olan uzaklıklarının toplamı, yarı çevreden büyük, çevreden küçüktür. u<x + y + z<2u dur. 12. Bir üçgende iki kenarın orta noktalarını birleştiren doğru parçası, üçüncü kenara paralel ve yarısına eşittir. [DE] // [BC] ve BİR ÜÇGENİN HERHANGİ BİR KENARINI DİĞER KENARIN ORANINDA BÖLEN NOKTA VE UYGULAMALARI Bir ABC üçgeninin BC kenarı üzerindeki ise olacak biçimde D noktası olarak hesaplanır. k=1 için [AD]= v a olur. Bir ABC üçgeninin BC kenarı dışındaki ise olacak biçimde D noktası olarak hesaplanır. İç Açıortay Teoremi Bir üçgende iç açıortay kestiği kenarı komşu kenarları oranında böler. SİNÜS TEOREMİ Bir üçgenin köşe noktalarından geçen çembere o üçgenin çevrel çemberi denir. Kenarlarının uzunlukları a, b, c; iç açılarının ölçüleri A, B, C ve çevrel çemberinin yarıçapı R olan üçgen için, ABC üçgeninde [AD], A açısının açıortayı olmak üzere, Dış Açıortay Teoremi Bir üçgende dış açıortay kestiği kenarı komşu kenarları oranında böler. bağıntısı vardır. Bu bağıntıya üçgende Sinüs teoremi adı verilir. ABC üçgeninde [AD], A açısının açıortayı olmak üzere, 10

12 İç Açıortay Özellikleri 1. Şekildeki ABC üçgeninde [AN] açıortay ise ve olur. 2. Bir açının açıortayı üzerinde alınan herhangi bir noktadan, açının kollarına inilen dikmeler birbirine eşittir. Ayrıca dikmelerin köşeden ayırdığı kenar uzunlukları da birbirine eşittir. 7. Şekildeki ABC üçgeninde; 8. Şekildeki ABC üçgeninde; 3. Bir üçgenin bir açıortay uzunluğu üçgenin alanını komşu kenar oranında böler. 4. Bir üçgende iç açıortay uzunluğunun karesi, açıortaya göre komşu kenarlar çarpımı ile ayırmış olduğu kenar uzunlukları çarpımı farkına eşittir. Dış Açıortay Özellikleri 1. Bir üçgende aynı köşeye ait iç açıortay ile dış açıortay arasındaki açı 90 olup, iç açıortayın kenar ile üzerinde ayırmış olduğu parçaların oranı ile dış açıortayın diğer köşelere olan uzaklıkları oranı birbirine eşittir. ( ) ve 5. Bir ABC üçgeninde [ ], [ ] ise; 2. Şekildeki ABC üçgeninde; 6. Bir ABC üçgeninde [ ], [ ] ise; 11

13 ÜÇGENLERDE KENARORTAY VE AÇIORTAYLARIN KESİŞİM NOKTALARI Üçgenin İç Açıortaylarının Kesişim Noktası Bir üçgenin iç açıortaylarının kesim noktasına bu üçgenin iç merkezi denir. Genellikle I ile gösterilir. İçten teğet olan iç merkezli çembere iç teğet çemberi denir. İç teğet çemberin yarıçapı r ile gösterilir. Özellikler: 1. Şekilde K, L, N noktaları değme noktaları değil Bu noktaların üçü de değme noktası ise üçgen eşkenardır, ikisi değme noktası ise üçgen ikizkenardır. 2. Bir üçgenin iç teğet çemberinin açıortayı bölme oranı,, 3. Şekildeki ABC üçgeninde I iç teğet çemberinin merkezi; D, E ve F değme noktaları; ve olmak üzere; 4. Bir üçgende iç merkezi köşeleri ile birleştirerek elde ettiğimiz üçgenlerin alanları kenar uzunlukları ile orantılı olur. Özellik: Bir ABC üçgeninde iç teğet çemberinin yarıçapı r, dış teğet çemberlerinin yarıçapları r a, r b, r c ise; olmak üzere; Üçgenin Kenarortayların Kesişim Noktası Bir üçgenin, üç kenarortayı tek bir noktada kesişir. Bu noktaya üçgensel bölgenin ağırlık merkezi denir ve G ile gösterilir. Özellikler: 1. Köşelerinin koordinatları,, olan ABC üçgeninin kenarortaylarının kesişim noktasının koordinatları, bağıntısı ile verilir. ve Üçgenin Dış Açıortaylarının Kesişim Noktası Bir üçgenin bir iç açıortayı ve diğer iki köşeye ait dış açıortaylarının kesim noktasına bu üçgenin dış merkezi denir ve bu merkezler üç tane 2. Bir üçgende ağırlık merkezi kenara bir, köşeye iki birim uzaklıktadır. 12

14 3. Bir üçgende ağırlık merkezinden kenarlara çizilen paralellerin toplam uzunluğu üçgenin çevresinin üçte biri kadardır. 3. Bir ABC üçgeninde G ağırlık merkezi ise aşağı şekildeki durum geçerli 4. Bir üçgende kenarortaylar üçgeni altı eşit alana böler. Bir üçgende iki kenarın orta noktalarının birleşimi ile oluşan doğru parçasına üçgenin orta tabanı denir. Bir üçgende üç tane orta taban vardır. Bir üçgende kenar orta noktalarının birleşimi ile oluşan üçgene orta taban üçgeni denir. 4. Aşağıdaki ABC üçgeninde G ağırlık merkezi ise [ ] [ ] [ ] FED üçgeni: orta taban üçgeni Sonuçlar: 1. (312 Kuralı): Bir üçgende ağırlık merkezi ve orta taban kenarortayı 3:1:2 birimle orantı böler. Üçgenin Yüksekliklerinin Kesişim Noktası Bir üçgende bir köşeden karşı kenara indirilen dikme ayağının koordinatları; i. Dik izdüşüm, ii. iii. Bir noktanın bir doğruya olan uzaklığını, Bir kenar ve buna dik olan yüksekliğin arakesitini bulma yöntemlerinden birisiyle bulunabilir. Yüksekliklerin kesim noktasına üçgenin diklik merkezi denir. 2. Bir üçgenin ağırlık merkezi orta taban üçgeninin de ağırlık merkezi Üçgenin Kenar Orta Dikmelerinin Kesişim Noktası Bir üçgenin kenar orta dikmeleri tek bir noktada kesişir, bu nokta üçgenin çevrel çemberinin merkezi 13

15 BİR ÜÇGENSEL BÖLGENİN ALANI 1. Üçgenin alanı yükseklik ile yüksekliğin indiği kenarı uzunluğunun (taban) çarpımının yarısına eşittir. 6. Şekildeki ABC üçgeninde I b noktası ABC üçgeninin dış merkezi D, E ve F değme noktalarıdır, olmak üzere; 2. Kenar uzunlukları a, b, c olan bir ABC üçgeninde olmak üzere 3. Bir üçgende iki kenar uzunluğu ile aralarındaki açının sinüsünün çarpımının yarısı üçgenin alanını verir. 7. Bir ABC dik üçgeninde T, H, K iç teğet çemberin değme noktaları ve I iç merkez ise Sonuçlar: 1. Yükseklikleri ve taban uzunlukları eşit olan üçgenlerin alanları eşittir. A(ABC)=A(DBC)=A(EBC) 4. Bir üçgenin iç teğet çemberinin yarıçapı r, kenar uzunlukları a, b, c ve ise 2. Yükseklikleri aynı olan üçgenlerin alanlarının oranı, taban uzunluklarının oranına eşittir. 5. Kenar uzunlukları a, b, c olan bir ABC üçgeninin çevrel çemberinin yarıçapı R ise 3. Taban uzunlukları aynı olan üçgenlerin alanları oranı, yükseklikleri oranına eşittir. 14

16 4. Benzer üçgenlerin alanlarının oranı benzerlik oranının karesine eşittir. Dönme Dönüşümü Düzlemde bir P(x,y) noktasının, O noktası etrafında α açısı kadar döndürülmesiyle elde edilen nokta, Q=R α (P) = (x.cosα y.sinα, x.sinα+y.cosα) dır. Burada R α ya dönme dönüşümü denir. Düzlemin her P noktası için R α (P) dönmesi yapılabileceğinden şeklinde bir dönüşümdür. Carnot (Karnot) Teoremi: Dönme yalnızca bir noktayı değiştirmez diğer bütün noktaları da değiştirir. Değişmeyen noktaya dönme merkezi denir. Düzlemde öteleme, dönme ve bunların bileşke dönüşümleri, uzaklık ile açıların yönlerini koruyan dönüşümler DÜZLEMDE YANSIMA VE ÖTELEMELİ YANSIMA DÖNÜŞÜMLERİ Bir ABC üçgeninin iç bölgesinde seçilen bir K noktasından üçgenin kenarlarına çizilen dikme ayakları D, E, F olsun. bağıntısına Carnot (Karnot) Teoremi denir. 6.ÜNİTE: DÖNÜŞÜMLERLE GEOMETRİ DÜZLEMDE ÖTELEME, DÖNME VE BUNLARIN BİLEŞKE DÖNÜŞÜMLERİ Düzlemin noktalarını düzlemin noktalarına eşleyen bire bir ve örten fonksiyona düzlemin bir dönüşümü denir. Öteleme Dönüşümü Düzlemde olacak şekildeki tanımlanan Q noktasına, P noktasının doğrultusunda kadar ötelenmişi denir ve şeklinde gösterilir. Düzlemin her P noktası için, ötelemesi yapılabilir, dolayısıyla şeklinde bir dönüşümdür. Noktaya Göre Yansıma Dönüşümü Düzlemde bir P noktasının M noktasına göre simetriği olan P noktasının koordinatları, P = 2M P bağıntısı ile verilir. Burada M noktasına yansıma merkezi denir., S M (P) = 2M P dönüşümüne M noktasına göre yansıma dönüşümü denir. Düzlemde bir d doğrusu ve dışında bir A noktası olsun. A noktasından d doğrusuna inilen AH dikmesini kendisi kadar uzatarak A nın simetriği olan A noktası alındığında, [AA ] d doğrusuna dik ve olduğundan d doğrusu [AA ] nın orta dikmesi olur. 15

17 Doğruya Göre Yansıma Dönüşümü l: doğrusu için, S l : R 2 R 2, S l (P) = 2A P + dönüşümüne P noktasının l doğrusuna göre yansıması denir. l doğrusuna yansıma ekseni denir. Yansıma altında değişmez kalan noktaların geometrik yeri bu l doğrusudur. Düzlemde alınan herhangi bir P(x,y) noktasının; x eksenine göre simetriği P (x, y), y eksenine göre simetriği P ( x,y), y=x doğrusuna göre simetriği P (y,x), y= x doğrusuna göre simetriği P ( y, x), x=a doğrusuna göre simetriği P (2 x,y), y=b doğrusuna göre simetriği P (x,2b y) Bir yansıma dönüşümünün tersi kendisine eşittir. Düzlemde yansıma ve ötelemeli yansıma dönüşümleri, uzaklığı koruyup açıların yönlerini değiştirir. Paralel iki doğruya göre yansımanın bileşkesi bu iki doğru arasındaki uzaklığın iki katı kadar bir öteleme Kesişen iki doğruya göre yansımanın bileşkesi, bu iki doğru arasındaki açının iki katı kadar bir dönme ŞERİT SÜSLEMELERİ Bir düzlemsel bölgenin, bir motif kullanılarak boşluk kalmayacak ve motifler çakışmayacak şekilde dönüşümler (yansıma, dönme, öteleme ve ötelemeli yansıma) yardımıyla örtülmesine düzgün kaplama denir. Kaplama farklı motifler kullanılarak yapıldığında buna yarı düzgün kaplama adı verilir. DÜZLEMSEL ŞEKİLLERİN EŞLERİ VE UYGULAMALARI Düzlemde dönme, öteleme, yansıma ya da bunların bileşke dönüşümlerine izometri dönüşümleri, bu dönüşümler altında bir şeklin görüntüsüne bu şeklin simetriği (eşi) denir. İKİ ÜÇGEN İÇİN EŞLİK TEOREMLERİNİN İSPATI İki üçgen arasında yapılan bire bir eşlemede, karşılıklı kenarlar ve açılar eş ise bu iki üçgene eş üçgenler denir. Karşılıklı ikişer kenarları ve bunların belirttiği açıları eş olan üçgenler eştir. Bu önerme kenar açı kenar postulatı olarak adlandırılır. ABC ve DEF üçgenleri için; ( ) ( ) } olduğundan bu üçgenler eştir. HOMOTETİ DÖNÜŞÜMÜ VE UYGULAMALARI Düzlemde M bir sabit nokta, k R olmak üzere, P =M+k.(P M) eşitliğini sağlayan P noktasına P nin M merkezli k oranlı homotetiği denir. H: R 2 R 2, H(P)=P =M+k.(P M) dönüşümüne M merkezli, k oranlı homoteti dönüşümü denir. Bir düzlemsel şekle, homoteti dönüşümü uygulanarak elde edilen yeni şekle, bu şeklin homotetiği denir. Burada; k=1 iken şeklin kendisi, 0<k<1 iken şeklin k oranında küçültülmüşü, k>1 iken şeklin k oranında büyütülmüşü elde edilir. Homoteti dönüşümü uzunlukları aynı oranda değiştirir, açıların ölçülerini korur. Oranları k 1, k 2 ve merkezi M olan iki homotetinin bileşkesi, M merkezli ve k 1.k 2 oranlı homoteti dönüşümüdür. Bir düzlemsel şekle; öteleme, dönme, yansıma ve homoteti dönüşümlerinin yeteri kadar bileşkesi uygulanarak elde edilen düzlemsel şekle bu şeklin benzeri denir. Benzerlik oranı, kullanılan homotetilerin oranları çarpımıdır. 16

18 DOĞRU PARÇALARI İLE FRAKTAL OLUŞTURMA VE BELİRLİ ADIMDAKİ FRAKTALIN UZUNLUĞUNU HESAPLAMA Fraktalın görüntüsü oluşturulduktan sonra oranında küçültülüp kopyaları alınarak yine fraktalın kendisini oluşturacak biçimde aşağıdaki dönüşümlerden uygun olanlarla görüntüler üretilir. Benzer iki üçgenin; 1. Karşılıklı kenarortaylarının uzunluklarının oranı eşittir. 2. Karşılıklı açıortaylarının uzunluklarının oranı eşittir. 3. Karşılıklı yüksekliklerinin uzunluklarının oranı benzerlik oranına eşittir. 4. Çevre uzunluklarının oranı benzerlik oranına eşittir. 5. Alanlarının oranı benzerlik oranının karesine eşittir. DİK ÜÇGENDE METRİK BAĞINTILARIN İSPATI VE UYGULAMALARI Dik Üçgende Öklid (Eucleides) Bağıntıları Hücrelerde kullanılan dönüşümler sağ üst kutu daima boş kalacak şekilde aşağıdaki sırada (1, 2, 3) olarak kodlanır. ÜÇGEN VE ÜÇGENSEL BÖLGELERLE FRAKTAL OLUŞTURMA İki üçgen arasında bire bir eşleme verildiğinde, bu üçgenlerin karşılıklı açıları eş ve karşılıklı kenar uzunlukları orantılı ise bu üçgenlere benzer üçgenler denir. Genel olarak a, b, c, h, p ve k gerçek sayılar, ( ) olmak üzere kenar uzunlukları yukarıdaki şekilde verilen dik üçgende, Bu bağıntıları bulan kişi Euclides (Öklid) olduğu için Öklid Bağıntıları olarak isimlendirilir. TALES, MENELAUS VE SEVA TEOREMLERİ ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) eşlemeleri verilsin. } ve İki üçgen arasında yapılan bire bir eşlemede karşılıklı açılar eş ise bu iki üçgen benzer önermesine açı açı benzerlik postülatı denir. I. Tales Teoremi Bir paralel doğru demetinin, bunları kesen iki doğru üzerinde ayırdığı karşılıklı doğru parçalarının uzunlukları orantılıdır. 17

19 II. Tales Teoremi Kesişen iki doğru; paralel iki doğru ile kesildiğinde oluşan üçgenlerin karşılıklı kenarlarının uzunlukları orantılıdır. Sonuçlar: 1. Bir takım paralel doğrular bir kesen üzerinde eş parçalar ayırırsa her kesen üzerinde de eş parçalar ayırır. 2. Bir üçgende, iki kenarın orta noktasını birleştiren doğru parçası, üçüncü kenara paralel ve onun yarısı uzunluğundadır. MENELAUS TEOREMİ: Bir üçgenin kenarları bir A doğrusu tarafından D, E ve F gibi üç noktada kesildiğinde, SEVA TEOREMİ: Bir üçgenin iç bölgesinde alınacak olan herhangi bir noktayı üçgenin köşe noktalarına birleştiren doğru parçalarının uzantıları, kenarlar sırasıyla D, E, F noktalarında kesiyorsa; 18